Page 18FCEBD2B-4FEB-41E0-A69A-B0D02E5410AERectangle 52 Przejdź do treści

Szanowni Państwo!

Już jest – nowy „Przekrój”, a w nim jak zwykle dużo wszystkiego! Piszemy o bliskich nam wartościach, dalekiej Japonii i jeszcze dalszej Wenus. Rozmawiamy z dziećmi i mądrymi dorosłymi, przyglądamy się snom i fraktalom. Wiosenny "Przekrój", jak można go nie kupić?

Kup numer wiosenny

Przekrój
Gdziekolwiek spojrzeć, tam fraktale. Na płótnach van Gogha, w architekturze świątyni Angkor Wat ...
2021-03-19 09:00:00

Matematyka pędzla i batuty

Meczet Szejka Lotfollaha, Isfahan, Iran; zdjęcie: Raimund Franken/ullstein bild via Getty Images
Matematyka pędzla i batuty
Matematyka pędzla i batuty

Można je dostrzec na płótnach van Gogha i Pollocka, w architekturze świątyni Angkor Wat i weneckiego Pałacu Dożów, w partyturach Mozarta. Mowa, oczywiście, o fraktalach.

Czyta się 9 minut

W latach 90. rozgorzała dyskusja wokół obrazów Jacksona Pollo­cka. Wszystko zaczęło się od tego, że pani Teri Horton kupiła za pięć dolarów obraz, o którego oryginalność spierali się znawcy sztuki. Po wielu badaniach okazało się, że płótno zostało namalowane w za ciemnej gamie, farbami akrylowymi, których Pollock nie używał, i na standardowym formacie, podczas gdy reszta jego dzieł była ręcznie docinana z płótna żaglowego. Nadal nie uznawano ekspertyz. Matematyk Richard Taylor postanowił jednoznacznie stwierdzić autentyczność dzieła. Za wzór wziął obraz Numer 1 z 1948 r. Wykorzystał w tym celu metodę box-countingu, która polega na nakładaniu na płótno kolejnych, coraz drobniejszych, kwadratowych siatek. Następnie zlicza się, ile kwadratów zawiera elementy obrazu. Sprawdzane jest więc, w jakim stopniu wzór pokrywa płaszczyznę.

Liczba zliczonych kwadratów jest więc miarą zajętej przez obraz powierzchni. Wartość ta oczywiście będzie się zmieniać wraz ze zmianą rozmiaru kratki. Kluczowa jest szybkość tych zmian – pozwala ona określić, ile wymiarów ma mierzony obiekt. Oto prosty przykład:

Na pierwszym rysunku znajduje się jednowymiarowa linia. Zajmuje ona trzy kratki. Co będzie, gdy zmniejszy się kratki dwukrotnie? Linia zajmie ich sześć. Liczba zajętych kratek jest proporcjonalna do pierwszej potęgi skali – obraz ma jeden wymiar. Inaczej mówiąc, linia ma długość liczoną w kratkach.

Wezmę teraz figurę płaską. Zajmuje ona dwie kratki. Po dwukrotnym przeskalowaniu kratek jest osiem, czyli czterokrotnie więcej. Mam zatem zmianę proporcjonalną do kwadratu skali. Wymiar wynosi dwa. Innymi słowy, figura ma pewną powierzchnię liczoną w kratkach.

Zamów prenumeratę cyfrową

Z ostatniej chwili!

U nas masz trzy bezpłatne artykuły do przeczytania w tym miesiącu. To pierwszy z nich. Może jednak już teraz warto zastanowić się nad naszą niedrogą prenumeratą cyfrową, by mieć pewność, że żaden limit Cię nie zaskoczy?

Jak widać, można tą metodą okreś­lać wymiar obiektu – który, jak już wiadomo, nie musi być liczbą całkowitą.

Nieodłączną cechą obiektów o niecałkowitej liczbie wymiarów jest samopodobieństwo.

Numer 1 Pollocka okazał się tysiąckrotnie samopodobny, natomiast obraz kupiony przez panią Horton jedynie 50-krotnie. Dla porównania, typowa linia konturu lasu na tle nieba wykazuje możliwość 250-krotnego powiększenia z zachowaniem podobieństwa. Z dalszych analiz Taylora wynikło, że dzieła Pollocka mają bardzo podobny wymiar, co elementy występujące w naturze (np. linia horyzontu, żyłki liścia), czyli około 1,3. Okazało się też, że z biegiem czasu malarz rozwijał swoją technikę, ponieważ od roku 1943 do roku 1952 współczynnik stopniowo wzrastał. Jednocześnie nie bez znaczenia były rozmiary płótna i stopień jego pokrycia.

Buddyjska świątynia Borobudur, Magelang, Jawa Środkowa; zdjęcie: Zaenulihsan91 (CC BY-SA 4.0)
Buddyjska świątynia Borobudur, Magelang, Jawa Środkowa; zdjęcie: Zaenulihsan91 (CC BY-SA 4.0)

Matematyk wskazał także na badania innych naukowców, które udowadniają, że budowę fraktala mają np. wzory w Nazca czy buddyjska świątynia Borobudur na Jawie. Niestety analiza ta nie została zaakceptowana przez ekspertów i badania trwały dalej. Do dziś nie została podjęta decyzja w sprawie obrazu. Taylor, nie zważając na lekceważenie go przez środowisko naukowe, do dziś kontynuuje swoje badania. Nie jest zresztą w swoich dążeniach odosobniony. Wielu innych naukowców z całego świata podjęło starania połączenia wiedzy na temat fraktali i sztuki. Nawet sama metoda sprawdzania autentyczności dzieł Pollocka jest nadal rozwijana.

Jackson Pollock, „Odbicie Wielkiego Wozu”, 1947 r., Stedelijk Museum, Amsterdam, Holandia; zdjęcie: Universal History Archive/Universal Images Group via Getty Images
Jackson Pollock, „Odbicie Wielkiego Wozu”, 1947 r., Stedelijk Museum, Amsterdam, Holandia; zdjęcie: Universal History Archive/Universal Images Group via Getty Images

Szczególnie ważne jest badanie naturalnie występujących wzorów fraktalnych, które – jak stara się dowieść Taylor – mają wpływ na przyzwyczajenia percepcyjne człowieka. W dalszej konsekwencji artyści od wieków intuicyjnie korzystający z podobieństw form w przyrodzie tworzyli, jego zdaniem, opierając się na fraktalach, ponieważ stale z nimi obcowali. Ludzie przyzwyczajeni w ten sposób do określonej proporcji wymiarów (około 1,3) znajdują w nim odpoczynek dla oka, czyli obniżoną aktywność umysłu związaną z przetwarzaniem obrazów. Taki odpoczynek jest przyjemny i zaciekawia odnajdowaniem kolejnych analogii, więc zaspokaja naturalną, zdaniem Johana Huizingi, potrzebę rozrywki. To logiczne, biorąc pod uwagę teorię Gestalt i bazujące na niej dzieło Rudolfa Arnheima Sztuka i percepcja wzrokowa. Psychologia twórczego oka. Jak wykazały powyższe badania psychofizjologiczne, podstawową zasadą percepcji jest prostota formy i wynikające z niej stałości postrzeżeniowe. Skoro fraktal jest formą nieskończenie samopodobną, a natura wykazuje jego wszechobecność, nie sposób zaprzeczyć zasadności prezentowanych sądów Taylora. Na dowód tego przytoczyć można wyniki eksperymentu NASA z 1986 r., w którym wyświetlał losowo dobranym osobom cztery obrazki: zdjęcie natury, obraz pointylistyczny z drzewem, abstrakcyjny wzór i pusty obraz kontrolny. Sprawdzano, jaka będzie reakcja organizmu badanych. Okazało się, że aktywność umysłu w momencie wyświetlania zdjęcia pejzażu była aż 44% niższa, niż gdy pokazywano obraz kontrolny. Dlatego też inny naukowiec, Roger Ulrich, starał się dowieść, że okna z widokiem na naturalną scenerię pozytywnie wpływają na efekty rekonwalescencji pacjentów po operacji. Może niektórych to śmieszy, jednak taka wiedza jest bardzo potrzebna. Wiadomo na przykład, że długie patrzenie w pustkę przestrzeni kosmicznej oddziałuje negatywnie na psychikę. Także podczas drugiej wojny światowej torturowano ludzi, zamykając ich w pomieszczeniach, gdzie nie otrzymywali żadnych bodźców zmysłowych. W bardzo krótkim czasie odosobnieni wariowali.

Taylor w swoich poszukiwaniach na tym nie poprzestał. Stworzył m.in. maszynę malującą obrazy metodą drippingu, którą można skalibrować tak, aby tworzyła wzory o konkretnym wymiarze. Potrafi ona malować zarówno fraktalne, jak i niefraktalne kształty. Dalsze badania wykazały preferencję konkretnego zakresu wymiaru, czyli około 1,3.

Podobne do metody Taylora badania zostały przeszczepione na grunt architektury i urbanistyki. Przy dzisiejszym ich stanie można uznać, że rzeczywiście już starożytni budowniczowie intuicyjnie i całkowicie nieświadomie korzystali ze sposobu skalowania bardzo zbliżonego do fraktala. Doskonale widać to przy porównaniu zewnętrznej linii obrysu świątyni w Angkor Wat i linii zalesionego horyzontu. Także poszczególne elementy budowli, np. kopuły lub wieżyczki, są zazwyczaj przez hindusów skalowane i rozmieszczane według jednej, niewymiernej proporcji. W samej Angkor Wat w ten sposób powiększają się kolejne mury. Podobny wzór tworzą usypywane z piasku buddyjskie mandale. Architektura grecka i rzymska, przez długi czas stawiane za wzór w Europie, były natomiast częściej tworzone zgodnie z wartościami wymiernymi. Wyjątkiem od tego są m.in. gotyckie pałace w Wenecji: Palazzo d’Oro, Ca’ Foscari czy Pałac Dożów. Wzory podobne do fraktala tworzą także precyzyjnie planowane parcele miast wokół koncentrycznie rozchodzących się ulic lub na osiedlach domków. Najlepszym tego przykładem są okolice Pól Elizejskich w Paryżu. Podobnie kształtowana jest posiadłość powstała na zamówienie pana Palmera, zrealizowana w latach 1950–1951 przez Franka Lloyda Wrighta. Całość planu budynku tworzą nakładające i przecinające się trójkąty.

Plac Charles’a de Gaulle’a, Paryż, Francja; zdjęcie: Rodrigo Kugnharski on Unsplash
Plac Charles’a de Gaulle’a, Paryż, Francja; zdjęcie: Rodrigo Kugnharski on Unsplash

Osobnym i dla mnie szczególnie interesującym zjawiskiem jest obecność fraktali w sztuce pierwszych ekspresjonistów i abstrakcjonistów. Jak się okazuje, sam Benoît Mandelbrot zachwycał się strukturą obrazów Františka Kupki. Artysta pochodzący z Czech, niedostrzeżony przez współczesną mu krytykę jako jeden z pionierów abstrakcji malarskiej, tworzył ogromne płótna przesycone ulubioną muzyką. Fascynował się Bachem i jego zasadą kontrapunktu, którą w swoich obrazach przedstawiał za pomocą kontrastu czerwieni z błękitem. Zaskakujące jest dla mnie to, że właśnie te elementy (często stosunkowo małe) wykazują cechy fraktala. Pokrywa się to bowiem z założeniami samego Bacha, który tworzył w muzyce kontrapunkty określające metodę prowadzenia niezależnych linii melodycznych w ścisłym powiązaniu ze z góry wyznaczonymi zasadami harmonicznymi. Tak jak podobne są owe linie, tak podobne są kontrastowane formy u Kupki. Dziwi mnie trochę, że skoro w tak wielu obrazach abstrakcyjnych pojawiają się u niego wyraźne fraktale, w dziele Kwitnący kasztanowiec z 1906 r. ich nie ma. Inaczej jest u Vincenta van Gogha, który we wszystkich obrazach przedstawiających kasztanowce fraktale zawarł. U Holendra sprawa wygląda zupełnie odmiennie niż u Kupki. Cały czas tworząc w ścisłym związku z naturą, co stale podkreślał w swoich wypowiedziach, stworzył technikę, która rzeczywiście odpowiada budowie przyrody opartej na fraktalach. Badania jego obrazów – wykonane w porozumieniu kilku uczelni wyższych i Kröller-Müller Museum – dowiodły, że pociągnięcia pędzla Vincenta są powtarzalne w określony sposób, a cała struktura jego dzieł jest bardzo spójna. Można to stwierdzić „na oko”. Dochodzenie przeprowadzone przez naukowców przyniosło jednak liczby, które mówią same za siebie. Po otrzymaniu skanów, wykonanych według jednego standardu z oryginalnych obrazów oraz ich kopii, doszli do wniosku, że analiza fraktalna może być narzędziem zdolnym do wykrywania fałszerstw, a także dzielenia prac van Gogha na okresy. W każdym z nich bowiem występowały inne zależności wzorów. Okazało się również, że wymiar obrazów malowanych tuż przed atakami epilepsji lub tuż po nich jest znacznie wyższy niż w dziełach z okresu, gdy czuł się dobrze. Pokrywa się więc tutaj stopień skręcenia formy i stopień skomplikowania fraktala. Artysta przekonany o uniwersalności źródła swojej inspiracji doszedł w wyniku stylizacji do doskonałych efektów formalnych. Podobnie jak w przypadku obrazów Jacksona Pollocka można za pomocą­ analizy fraktalnej­ zbadać czas powsta­nia dzieła van ­Gogha. W ciągu ­zaledwie dwóch lat malarz ogromnie udoskonalił swoją technikę. To, co pozornie zdaje się tylko deformacją, jest tak naprawdę dochodzeniem do perfekcji. Wnioskuję tak, ponieważ oryginalne obrazy Vincenta malowane były w prawdziwym szale twórczym, kiedy autor nie miał nawet sekundy na zastanowienie. Kopie zawsze malowane są z większą uwagą. Cały czas korygowane jest bowiem podobieństwo do pierwowzoru. Innymi słowy, van Gogh wyćwiczył technikę malarską (i rysunkową) w sposób uniemożliwiający proste fałszerstwo. Zarzuty tak często kierowane pod adresem Vincenta, że jego styl wynika z upośledzenia, są bardzo krzywdzące. Epilepsja, czy inaczej padaczka, stwierdzona u artysty i leczona, w oczywisty sposób utrudniała mu pracę, nie zaś – jak chcieliby tego autorzy teorii spiskowych – ułatwiała. Jedynymi objawami choroby są powtarzające się napady, podczas których chory traci przytomność (lub jest ona zaburzona) i dochodzi do cyklicznego, niekontrolowanego napinania mięśni. Jest to bardzo wyczerpujące. Gdy tylko van Gogh odzyskiwał siły, wracał do pracy. Często malował po dwa obrazy dziennie, wykonywał masę szkiców.

Vincent van Gogh, „Kwitnący kasztanowiec”, 1890 r., Kröller-Müller Museum; zdjęcie: domena publiczna
Vincent van Gogh, „Kwitnący kasztanowiec”, 1890 r., Kröller-Müller Museum; zdjęcie: domena publiczna

Idąc dalej tropem muzyki, która fascynowała wielu malarzy początku XX w., warte uwagi jest prześledzenie struktury dźwięków w utworze, która także bardzo często odpowiada fraktalom. Nie trzeba zapewne nikomu tłumaczyć, że muzyka zawsze jest w jakimś stopniu samopodobna. Taka jest jej natura. Na tym polu eksperymenty i matematyczne zabawy przeprowadził m.in. Wolfgang Amadeusz Mozart. Kompozytor stworzył tablicę Musikalisches Würfelspiel, dzięki której można komponować kolejne elementy utworu, wprowadzając jedynie element losowy, np. liczbę oczek na rzuconych kościach. Zmienność dźwięków w czasie poza strukturą fraktala wykazuje także obecność szumu, który według licznych badań jest naturalny. Różne ­rodzaje szumu mogą być np. wyróżnikiem konkretnych gatunków muzycznych. Na ten problem zwrócił uwagę Luigi Russolo w swoim liście pisanym do kompozytora Francesca Balilli Pratelli z 1913 r. Tekst został opublikowany w 1916 r. jako „Sztuka szumu” – jest uważany za jedną z bardziej wpływowych teorii muzyki XX w. Russolo związany z ruchem futurystów był zarówno malarzem, jak i kompozytorem. Takich postaci wiążących sztuki plastyczne z muzyką szczególnie dużo było na przełomie wieków, kiedy na nowo zaczęto rozpatrywać romantyczne correspondance des arts. Niemały wpływ na myśl artystyczną wywarł współtwórca „Revue wagnérienne”, Polak z pochodzenia, Téodor de Wyzewa. Refleksja na temat twórczości Wagnera miała ogromny zasięg. Upatrywano w nim wielkiego geniusza, który dokonał syntezy sztuk i stworzył prawdziwy Gesamtkunstwerk.

Przykłady dzieł architektury budowanych w sposób fraktalny, podobnie jak obrazów i utworów muzycznych, można by mnożyć w nieskończoność. Sądzę, że niezależnie od tego, czy artysta był tego świadomy, czy nie, należy taką właściwość uwzględnić. Zawsze pojawiają się sprzeciwy wobec nowatorskich metod badań, co wydaje się zrozumiałe. Uważam jednak, że każda metoda analizy sztuki jest słuszna, o ile nadal dotyczy bezpośrednio samego dzieła. Tylko z takim podejściem można stale poszerzać wiedzę. Stąd mój wniosek, że sztuka i nauki ścisłe powinny iść w parze.

 

Data publikacji:

okładka
Dowiedz się więcej

Prenumerata
Każdy numer ciekawszy od poprzedniego

Zamów już teraz!

okładka
Dowiedz się więcej

Prenumerata
Każdy numer ciekawszy od poprzedniego

Zamów już teraz!